Előszó és tartalomjegyzék-hez >> Infokar >>   2.2. ES   2009.01., KG
 
2.2. Az egyenes és a sík egyenlete
 
     
2.2.1. Az egyenes egyenlete 
2.2.2. A sík egyenlete
      

2.2.0. Egysmás, amit tudni illik
•
  • Egy egynes egyenlete olyan egyenlőség, amely az ilető egyenes pontjainak koordinátái teljesül, de az egyenesen kívüli pontokéra nem. Például: 3x + 4y = 6 egy egyenes egyenlete.
  • Az egyenes (általános) egyenlete olyan paraméteres egyenlőség, amely a paraméterek minden valós értékére valamely egyenes egyenlete, és fordítva, minden egyenes egyenlete megkapható így.
  • Megjegyzendő, hogy az  y = mx+b alakú, "iskolás" egyenlet ugyan minden (m,b) számpárra valamilyen egynes egyenlete, de fordírva, nem minden egyeneshez található ilyen számpár. Például az x tengelyt x=3-nál metsző és az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete nem írható ilyen alakban.

  • ax + by + c < 0                         : egy félsík egyenlőtlensége
  • y = f( x ) és   z = g( x, y )           : explicit (kifejezett) egyenletek
  • h( x, y ) = 0,                              : implicit (nem explicit, nem kifejezett) egyenlet
    Ilyen például a kör egyenletének x2 + y2 -1 = 0 alakja
  • x = u( t ), y = v( t );  a ≤ t ≤ b    : paraméteres egyenletrendszer
    Ilyen például a kör  x = r ∙ cos t, y = r ∙ sin t ;   0 ≤ t ≤ 2π egyenlete
    Ilyen  x = r ∙ cos t, y = r ∙ sin t, z = v ∙ t ;  0 ≤ t < T (egy csavarvonal egyenletrendszere)

  • És néhány alapismeret az euklideszi térben (E3) és az euklideszi síkon (E2):
    •
  • •Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest (E2 és E3)
  • Egy egyenest egyértelműen meghatározza egy pontja és egy irányvektora (E2 és E3)

  • Egy egyenest egyértelműen meghatározza egy pontja és egy normálvektora (E2)
  • Egy síkot egyértelműen meghatározza egy pontja és egy normálvektora (E3)

  • Három pont egyértelműen meghatároz egy síkot (E3)
  • Egy sík egy normálvektora merőleges a sík minden egyenesére
  • Egy pontból kiinduló két vektor egyértelműen kifeszít (meghatároz) egy síkot (E3) …

2.2.1. Az egyenes egyenlete

Egy egyenes egyenlete különböző formákban adható meg, amelyek két, egymástól lényegesen különböző alakra vezethetők vissza.

Az egyenes paraméteres egyenlete egyenes paraméteres egyenlete

Egy egyenest meghatároz -- a térben kijelöl -- két pontja. Egy program adatai között egy egyenes reprezentálható -- tárolható -- két pontjának koordinátáival. Geometriai számítások során fölhasználhatjuk a két adott ponton átmenő egyenes egyenletét.

Két pontjával (P és Q) adott egyenes minden X pontjára:

X = P + t · (Q - P), azaz: X = (1 - t) · P + t · Q,

valamilyen t valós számmal. Minden valós t érték egyértelműen meghatározza az egyenes egy pontját, és fordítva is: az egyenes minden pontjához tartozik egy valós t érték. (Ez az egyenlet a síkban és a térben egyaránt használható - a továbbiak csak a síkban.)

A pontok helyvektorainak összetevőivel hasonlóan:
x = px + t · (qx - px), vagy átrendezve:  x = (1-t) · px + t · qx,
y = py + t · (qy - py), vagy átrendezve:  y = (1-t) · py + t · qy , és a térben:
z = pz + t · (qz - pz),  vagy átrendezve:  z = (1-t ) · pz + t · qz 

A t = 0-hoz a P, t = 1-hez a Q, 0 < t < 1 esetén a PQ szakasz pontjai, míg t<0 és 1<t esetén a szakaszon kívüli pontok.

Egyenlőközű t sorozat esetén geometriailag is egyenlőközű pontsorozatot kapunk az egyenesen.

Ebben az egyenletben t és 1-t az X pont baricentrikus koordinátái az egyenes P és Q alappontjaira vonatkozóan.

A v = Q - P jelöléssel v = (vx, vy, vz) = (qx - px, qy - py, qz - pz) az egyenes egy irányvektora.  Ezzel az egyenes paraméteres egyenlete X = P + t · v alakban írható, illetve az összetevőkre:  x = px + t · vx , y = py + t · vy , és a térben: z = pz + t.
A t = 0 a P pontot, pozitív x-ekre az irányvektor irényában, negatívokra az ellenkező irányban  lévő pontokat kapunk.

Az egyenes normálegyenlete (a síkban)

Egy egyenest a síkban meghatározza egy pontja és állása. Az egyenes állását legtöbbször egy normálvektorával -- az egyenes állására merőleges vektorral -- adjuk meg. (A térben az egyenes állását egy rá merőleges vektor nem határozza meg!)

A síkban elhelyezkedő P = (px, py) ponton átmenő, és az  n = (nx, ny) vektor állására merőleges egyenes tetszőleges X = (x, y) pontjára: 

        (X - P) · n = 0, illetve a koordinátákkal:  (x - px) · nx + (y - py) · ny = 0

Ugyanis az egyenesen lévő PX vektor merőleges az egyenes  normálisára, ezért ezek saklárszorzata 0.  Az egyenletet átrendezve:
X · n = P · n, illetve a koordinátákkal: x · nx + y · ny = px · nx + py · ny

Egy egyenes két félsíkra osztja a síkot. Ha a sík egy X’ pontja a P pont és az n normális által meghatározott egyenesen kívül, az n vektor irányával egyező oldalán van, akkor  (X’ - P) · n > 0, illetve ha az egyenes másik oldalán van, akkor ez < 0. Ezt a két egyenlőséget nevezhetjük az egyenesünk által meghatározott két félsík egyenlőtlenségének.
Az egyenes normálegyenletének homogén, implicit alakja (a síkban)

A normálegyenletből az a = nx, b = ny és c = - (px · nx + py · ny) jelöléssel:

         a · x + b · y + c = 0;   a2+b2 ≠ 0 (azaz a és b nem mindkettő nulla)

Itt a és b az egyenes egy normálvektorának összetevői. Az (a,b,c) számhármast az egyenes vonalkoordinátáinak nevezzük. Arányos számhármasok ugyanazt az egyenest jelentik. Egy síkbeli egyenes megadható (tárolható) vonalkoordinátáival.

Az a és b négyzetösszegének négyzetgyökével (nem nulla!) osztva kapjuk az egyenlet Hesse-féle normál alakját:
a' · x + b'· y + c'= 0;  a'2+b'2 = 1
a' és b' az egyenes normál-egységvektorának összetevői. Átrendezve kapjuk meg az egyenes egyenletének Salmon-féle tengelymetszetes alakját:
x / a" + y / b" = 1; Ha a és b nem nulla., b" ≠ 0

ahol a" = -c / a, b" = -c / baz egyenes és az X, illetve Y tengely metszéspontjának összetevője. Ez az alak nem tekinthető az egyenes általános egyenletével, mert tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete nem írható ilyen alakban.
A egyenes "iskolás egyenletei" (a síkban - ti)

Az én időmben az iskolában az egyenes egyenletét így tanultuk:  

         y = M · x + B;

ahol M az egyenes meredeksége, B pedig az y tengellyel való metszés helye, Ez azonban nem nevezhető az egyenesek általános egyenletének,  mert a „függőleges”, azaz az y tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete nem írható így. (Azok egyenlete: x = konstans.) Ezt az egyenletet nyilvánvalóan a homogén implicit egyenletből kapjuk b-vel osztva, ha b ≠ 0: M = -a/b, B = -c/b.

Általánosan használható viszont az egyenes egyenlete az adott (x1, y1) és (x2, y2) pontokon át: 

          (x2 - x1) · (y - y1) = (y2 - y1) · (x - x1).
 

 A homogén implicit egyenlet determináns alakja (a síkban)

A síkban adott három pont, X = (x, y), P = (px, py) és Q = (qx, qy) által alkotott háromszög területének kétszerese:
2 · T(XPQ) = | x  y  1 |
             | px py 1 |
             | qx qy 1 |

A determináns értéke a három pont (P,Q,X) által alkotott háromszög területének kétszerese; ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a terület nulla. Három pont, akkor és csak akkor van egy egyenesen, ha a koordinátáikkal képzett fenti determináns értéke nulla. Ebben az esetben a determinánst első sora szerint kifejtve a homogén egyenlet együtthatóit kapjuk:
x · (py - qy) + y · (qx - px) + (px · qy - py · qx) = 0.

ami x · a + y · b + c = 0 alakú. Miután (px-qx) és (py-qy)  az egyenes egy irány- vektorának összetevői, (py-qy) és  (-px+qx) egy normálvektor összetevői (mint a homogén implicit egyenletben a és b is).

? Gyakorlati számítások


 Ehhez a fejezethez a tanultak gyakorlása céljából három fájlt készítettünk. Ezek tartalma részben átfedő, később ezt majd tisztába tesszük. A három fájl:
    Képeletek összefoglalása ("kispuska"):   G22-X1-E-es-S-osszefoglalo.html
    Számítási feladatok:                               G22-X2-E-es-S-SzamitasiFeladatok.html
    További gyakorló feladatok:                  G22-X3-E-es-S-Gyakorlo-Feladatok-olv.html

2.2. A sík egyenlete

A sík egyenlete különböző formákban adható meg, amelyek két, egymástól lényegesen különböző alakra vezethetők vissza.

A sík paraméteres egyenlete:

A síkot meghatározza három nem kollineáris pontja.  (Három pontot kollineárisnak mondunk,sík paraméteres egyenlete ha egy egyenesbe esnek. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy nem-kollineárisak, illetve hogy kifeszítenek egy síkot.)  Egy program adatai között egy sík reprezentálható -- tárolható -- három pontjának koordinátáival. Geometriai számítások során fölhasználhatjuk a három adott ponton átmenő egyenes egyenletét.

Három, nem egy egyenesbe eső P, Q és R pontján átmenő sík valamennyi 
X = (x, y, z) pontja elérhető a például a Q pontból a QP és QR vektorok megfelelő súlíozott összegével:

   X = Q + s· (P - Q) + t · (R - Q), azaz: X = (1 - s - t) · Q + s · P + t · R,

   illetve az összetevőkre:

x = qx + s · (px - qx) + t · (rx - qx)  = (1 - s - t) · qx + s · px + t · rx,       
y = qy + s · (py - qy) + t ·(ry - qy)  = (1 - s - t) · qy + s · py+ t · ry,
z = qz + s · (pz - qz) + t · (rz - qz)   = (1 - s - t) · qz + s · pz + t · rz,

Minden s,t valós számpár a sík egy pontját adja, és a sík minden pontjához létezik egy ilyen valós s,t szám pár. A PQR háromszög pontjaiban 0 < s, t, 1-s-t < 1, az oldalain közülük egy nulla, csúcsaiban  kettő nulla (és a harmadik 1), a háromszögön kívül egy, vagy kettő negatív.

Az s, t és 1-s-t számok a pont baricentrikus koordinátái a síkban a P,Q,R pontokra vonatkozóan.

Az u = (P - Q) és v = (R - Q) helyettesítésekkel az egyenlet X = P + s · u + t · v alakra hozható, illetve a koordinátákra: x = px + s · ux + t · vx, y = py + s · uy + t · vy,  z = pz +  s· uz + t · vz .

sík normálegyenleteA sík normálegyenlete

A síkot meghatározza egy pontja és állása is. A sík állását meghatározhatja egy normálvektora, vagy két, nem egyállású vektora (amelyek tehát kifeszítik a síkot), vagy három nem kollineáris pontja.

A sík megadható egy P = (px,py,pz) pontjával és egy 
n = (nx,ny,nz) normálvektorával (ez utóbbi hossza tetszőleges lehet). A sík tetszőleges X pontjával az X - P (a P-ből az X-be húzott) vektor merőleges a normálvektorra, ezért:

         (X - P) · n = 0, azaz (x - px) · nx + (y - py) · ny + (z - pz) · nz = 0

illetve átrendezve:

X · n = P · n,  azaz  x · nx + y · ny + z · nz = px · nx + py · ny + pz · nz

A síkon kívüli pontokra ez a skalár szorzat nem nulla, a normálvektor irányával egyező oldalon pozitív, a másik oldalon negatív.

A sík egyenletének homogén, imlicit alakja

A fenti egyenletből az a = nx, b = ny, c = nz és d = -nx · px - ny · py - nz · pz jelöléssel:

              a · x + b · y + c · z + d = 0; a, b és c nem mind nulla
Itt a, b, c a sík egy normálvektorának összetevői. Egy síkot meghatároz homogén-implicit egyenletének a, b, c, d együtthatói, ezeket nevezhetjük sík-koordinátáknak.

Az a, b és c négyzetösszegének négyzetgyökével (nem nulla!) osztva kapjuk az egyenlet Hesse-féle normál alakját:  a' · x + b' · y + c'· z + d’= 0; a'2+b'2+c'2 = 1, illetve átrendezéssel kapjuk a sík Salmon-féle tengelymetszetes alakot:
 x / a" + y / b" + z / c" = 1;  a, b és c egyike sem nulla

Itt a" = -d / a, b" = -d / b, c" = -d / c a sík és a tengelyek metszéspontjának összetevői. (Ez az alak így nem "általános egyenlete a síknak", mert ha egy sík párhuzamos egy (vagy két) tengellyel, akkor egyenlete nem írható így föl.

A homogén egyenlet determináns alakja

 Egy sík három nem egy egyenesbe eső adott pontjának, P = (px,py,,pz,), Q = (qx,qy,qz,),  R = (rx,ry,rz,)-nek az összetevőire:
| x  y  z  1 | = 0
| px py pz 1 |
| qx qy qz 1 |
| rx ry rz 1 |

A determináns értéke általánosabban a négy pont által alkotott tetraéder térfogatának hatszorosa. Négy pont akkor és csak akkor van egy síkban, ha a koordinátáikkal képzett fenti determináns értéke nulla.
A determinánst első sora szerint kifejtve x, y és z együtthatóiként a homogén egyenlet együtthatóit kapjuk
A lap tetejérea lap tetejére